形式逻辑预设了什么形而上学基础？

本文译自《形式、先验与辩证思考：逻辑与实在》(《Formal, Transcendental&Dialectical Thinking：Logic and Reality》)第一章，该书最早出版于1987年

作者厄罗尔·E·哈里斯(Errol E. Harris，1908年4月19日—2009年6月21日) ，南非裔英籍哲学家，以其在形而上学、认识论、科学哲学、黑格尔哲学以及全球伦理与人类未来方面的贡献而闻名。他被认为是20世纪后半叶最重要的思辨哲学和绝对观念论复兴者之一。

逻辑与形而上学

如今，逻辑依赖于形而上学预设这一观点，常会遭到轻蔑的拒绝。首先，仍有一些哲学家坚持认为形而上学是一种不可能且不合法的探究。若此论断仅仅是武断之言，则不值一顾;但过去说服思想家们相信形而上学不可能的那个理由，早已被抛弃为毫无根据的。那个理由最初是：形而上学声称要揭示事物的本质，但如果这能做到(倘若可能的话)，也只能通过经验研究，而经验研究唯一正当的方法是自然科学的方法。任何关于事实的论断都必须基于观察证据，而这正是形而上学既不能也不试图提供的。然而，这样的论证早已被揭示为不合理的，部分原因在于，根据目前科学家和科学哲学家共同持有的科学方法论，所有科学都被证明预设了非经验的前提;但更主要的原因是，这种反形而上学论证本身，已被其最初的一些支持者(例如路德维希·维特根斯坦)认识到其自身就依赖于形而上学的假设。¹ 最初宣称形而上学命题没有(事实)意义的那些实证主义者，后来也修正了他们的立场。“形而上学是无意义的，这本身是无意义的，”弗里德里希·魏斯曼宣称。

然而，即使承认这一点，仍有人会坚持认为，逻辑是一门纯粹的形式学科，它完全脱离于话语的实质内容，只关注其表达形式及形式关系，而这些完全独立于形而上学理论，形而上学的主题是事物的根本(或基本)性质，因此直接关注话语的实质内容，即话语关于什么。此外，人们普遍认为，思维(或其表达)的逻辑结构既不规定也不取决于形而上学学说。形而上学可以是任何样子，而丝毫不会影响支配推理程序的原理。事实上，论证会继续，有效推理的原理(逻辑研究的对象)必须先于任何形而上学思辨，因为只要形而上学通过推理从其前提推导出结论，该推理的原理就必须独立于并且先于实质前提和结论。后者从前者的推导所依据的原理，其本身不能是前者的结果，因此必须独立于其内容。此外，对形而上学预设的批判在逻辑上是可能的。它们可能自相矛盾，或互不相容，或表述不当。如果逻辑原理是形而上学预设的后果，这种批判将不可能且会自我破坏。

但所有这些论证首先预设了：形式与内容是无关且相互独立的，这本身就是一个形而上学假设。其次，推理中的有效性是保证从真前提得出真结论的条件，而这只有基于内容中的某种真实联系才能确保。因此，有效推理的原理很难完全独立于主题的性质，除非它们变得完全琐碎和无效。

然而，推理是思维的一种操作——尽管大多数当代逻辑学家，急于消除其学科中的一切心理主义色彩，更倾向于用蕴涵或衍推规则来替代推理原理。尽管如此，很少有人会否认逻辑关注概念、概念之间的关系，以及概念与其所指称的实体之间的关系。在这里，无论我们喜欢与否，都不可避免地涉及思维，因为概念显然是构想的产物;而概念与其所适用对象之间的关系，则必然暗示着概念与其对象之间的关系。此外，我们如何看待这种关系，本身是或者包含一种形而上学理论。事实上，逻辑理论和实践总是预设着某种关于事实结构的概念，当其变得明确时，就是一种形而上学。因此，通过考察逻辑学家的学说和实践，我们应该能够发现他们的预设是什么，即他们的假设：倘若逻辑程序是可行的，那么概念的性质及其与存在事物的关系必须如何。

此外，尽管逻辑学家们抗议逻辑不依赖于形而上学，但他们时常通过暗示的方式承认概念的逻辑特征确实取决于其所适用的对象的性质。例如，弗雷格说，严格来说，我们证明一个概念没有矛盾的唯一方法是表明有某物归属于它。² 那么，归属于概念的对象性质决定了它是否自洽。弗雷格还认为，计算规则不是任意选择的，而是取决于我们赋予符号的意义。³

II

弗雷格与《算术基础》

尽管有几位先驱，但当代逻辑学的创始人无疑是戈特洛布·弗雷格，他对伯特兰·罗素的影响深远，并通过他以及他与 A. N. 怀特海德的合作工作，一直持续到今天。弗雷格确立的基本原则从未被任何数理逻辑的倡导者认真质疑或修改。虽然所做的改变相当大，但主要是在符号及其操作方法上，而非弗雷格在诸如《算术基础》、《概念文字》和《算术的基本规律》等著作中阐述的基本思想。为达我当前的目的，将注意力局限于第一部著作就足够了，因为后来在理论和实践上的变化对它的影响比对其他著作要小。

在《算术基础》的结论中，弗雷格声称已经表明，至少有可能，算术“变成了逻辑的一个简单发展”，这是他所给出的数字定义的结果。通过使用“一一对应(one-one correlation)”(beiderseits eindeutige Zuordnung)这一表述及其给出的定义，他声称已将数字的概念归结为纯粹的逻辑关系。这些是概念与其外延之间的关系，因为弗雷格坚持认为，数字虽然是“对象”(在他对这个词的意义上)，但既非物理实体也非心理实体。这些关系不属于“对象”本身，而仅属于概念。属于概念 F 的数，他告诉我们，是概念“与概念 F 等数”(gleichzahlig)的外延，而“等数”是用一一对应来定义的。根据这一主张，逻辑仅关注概念的性质以及概念之间的关系，同时关注概念与其所涵盖的对象之间的关系——即其外延。

对于这一逻辑观不应有任何反对意见，因为即使有人想坚持认为逻辑也关注命题及其相互关系，也必须承认，命题本身就是对概念之间、概念与对象之间，以及就对象归属于概念而言的对象之间关系的陈述。或者，如果有人想如玛莎·涅尔和威廉·涅尔所说，“逻辑关注有效推理的原理”，⁴ 那么必须承认推理依赖于概念之间的关系，因为即使它完全用真值函项术语来表述，一个命题的真假也必须取决于概念与命题所指对象之间的关系，而推理则取决于这些概念与其他命题所指称的其他概念之间的关系。

弗雷格坚持认为，在逻辑和数学中，“概念”应始终仅在其逻辑意义上理解，而不是任何心理学意义上，也不是常常出现的两种意义的混合。其确切的逻辑意义是什么，并非立即显而易见，但我们可以同意，心理主义以及逻辑与经验心理学之间的混淆是可悲的。然而，弗雷格在不同的著作中并不总是给出完全相同的关于概念的解释。在他1891年的论文“函数与概念”中，⁵ 他将概念与数学中的函数等同起来，说它是一个其值总是真值的函数。有人对这种学说带来的后果提出了异议，我不予讨论。⁶ 在当前语境下，其意义在于：数学函数表达了一项原则，该原则规定了项之间的系统关系，并且对于不同的自变元，其值(或示例)可能大不相同，尽管它们都满足该函数。它们共同拥有的可能仅仅是它们确实满足该函数这一事实。函数的这种特性，与我稍后试图倡导的概念解释非常接近，而与弗雷格在其他地方所说的有所不同。

事实上，弗雷格一致地忽略了概念(或函数)在示例化过程中的差异因素——当然，除了自变元可能不同之外。他严格区分了概念与归属于它的对象，或者用另一种数学语言来说，区分了函数与它的值域。“对象”，他说，是不确定的，但它是任何不是函数(或概念)的东西，因此其表达式不包含空位。⁷ 一个函数的值域——即其不同自变元的值——对应于(或等同于)概念的外延，外延大概由归属于它的对象的集合或总体构成。

因此，对象的符号永远不能有意义地用作命题中的谓词。只有概念符号才能做到这一点。当一个对象的名称被用作句子中的谓词时(例如，在“晨星是金星”中)，“是”这个词的意义不同于正常的系词，它表示同一性，或者等同于等号=。只有代表概念的术语才能用作谓词。

所有这一切都强烈暗示，概念是从许多对象中抽象出来的共同特征、属性或性质，这些对象之所以是其示例，纯粹是因为并且凭借它们具有那种特征、属性或性质。概念是抽象的，是一个类概念，其实例是由于每个都具有类的区别性标记的属性而归属于它的具体对象。弗雷格对此的理解正是如此，这从他对待数字的方式中得到了证实。

在阐述他著名的数字定义时，弗雷格批判早期的观点，拒绝认为数字是事物的属性，⁸ 或任何种类对象的集合(Menge)、汇集或群组，或此类群体的属性。⁹ 它不是任何纯粹主观的东西，也不是一个概念，因为它可以被赋予一个专名(例如“零”、“一”、“二”)，而专名不能正确地以复数形式使用。因此它是一个对象;¹⁰ 但它不是对象的属性，也不是对象群体的属性，也不是如几位早期作者所声称的多重体。他认为，关于数字的断言总是关于一个概念，因为是概念决定了要计数的单位。概念将其所涵盖的实例区分出来，将它们与其他对象以及彼此区分开来，但它在所有实例中是同一的，因此在它们内部不容分割。并非每个概念都是这种类型，但那些属于这一类型的，例如“木星的卫星”，是我们可以分配数字的概念。¹¹

由此可见，概念是在所有实例中相同的东西——它们的共同特征——而属于它的数字单位就是其实例。作为一个群体、汇集或集合，它们共同构成了它的外延。

现在，弗雷格并没有将属于概念 F 的数字定义为其外延，而是定义为概念“与概念 F 等数”的外延，并且为了避免循环，他将“等数”定义为“beiderseits eindeutig zugeordnet”(“以一一对应的方式排列”)。但是，显而易见，等数的并且以一一对应的方式排列的是归属于 F 的对象。

概念的外延是所有归属于该概念的对象的集合或总体。但弗雷格告诉我们，数字不是一个集合。因此，他的定义不能按其字面意思理解。当然，属于 F 的数字，并不属于“与概念 F 等数”的数字，尽管它被说是(被定义为)其外延。其外延是所有与 F 等数的概念;但属于 F 以及所有其他等数概念的数字，如何能是这些概念的汇集呢?显然，弗雷格的意思是，数字是所有这些概念共有的东西，是(正如“gleichzahlig”一词所示)使它们“gleich”的东西。与其说是其外延，不如说是定义概念“与概念 F 等数”的内涵或共同属性;也就是说，是 F 的外延与每一个其他等数概念的外延所共有的属性。

这些考虑再次引导我们得出这样的观点：概念是涵盖一组实例(其外延)的共同或类的属性。实例就是弗雷格所说的“对象”，它们显然是殊相，与作为抽象和共相的概念相对。此外，实例作为实例相互关联;也就是说，就归属于该概念而言，它们是同一的。因此，它们可以作为可数集合中的单位。

那么，似乎弗雷格早期的一些否定，与他自己的数字定义并不一致。因为数字毕竟是康托尔所称的“eine menge”——构成概念外延的对象集合——的属性。当然，它不是集合本身，但它是该集合与所有其他元素能与它建立一一对应关系的集合所共有的属性。涅尔夫妇¹² 将弗雷格的定义翻译成康托尔的术语时，并未丢失任何含义：“一个集合的基数是所有与它等价集合的集合”(其中等价是集合之间一一对应的关系)。但为了严格准确，我们应当说“所有与它等价的集合的共同属性”，因此更倾向于罗素的表述：“一个给定类的所有相似类的类”，因为“类”这个词有一个方便的歧义性，既表示共同属性(或类概念)，也表示汇集或集合。因此，在罗素的定义中，“类”在第一次出现时具有第一种意义，而在其后所有出现时具有第二种意义。

此外，正如涅尔夫妇指出的，¹³ 弗雷格有时允许自己谈论，就好像数字是一个二阶概念。“根据所提出的定义，”涅尔夫妇说，“数字将是所有相同大小的集合的共同特征。”因此，它将是(二阶的)与一个给定概念等数的概念——所有如此等数的概念的共同属性(或概念)——这无疑正是该词所指。

然而，尽管弗雷格坚持认为数字仅属于概念，并且我们不应将概念与其外延等同起来，¹⁴ 但显然，从他对此事的处理来看，数字仅属于概念的外延，并且概念的外延显然被设想为一组或一个汇集的具体殊相(eine Menge)，它们彼此之间的关系仅仅在于它们属于那个汇集，而它们之所以属于，是因为归属于同一个概念。这是一个纯粹的聚合体，其元素完全彼此外在，并且，除了它们归属于同一概念这一共同特征外，仅通过聚合而发生关系。只有这样，它们才能与其他聚合体(其他概念的外延)的元素建立一一对应，从而可以被分配数字。聚合体元素之间这种纯粹的外部关系，是可数单位以及因此可以应用数字单位的典型特征。

如果对象是以这种方式在概念下汇集在一起的殊相，每个概念是一个确定集合的区别性特征，¹⁵ 并且每个概念的外延都可计数，那么概念之间的关系将与数字之间的关系同属一类;因此，逻辑将完全是数学性的。

这种对弗雷格的解释是正确的，并且它涉及将逻辑对象同化为数学对象，这一点得到了涅尔夫妇的证实：

此外，弗雷格认为，当提出一条令人满意的定义链时，将清楚表明，展示算术所需的唯一未定义概念是形式逻辑的概念。特别地，他希望表明，关于自然数的讨论可以还原为关于集合、类或多重体的讨论，这些在逻辑学家的术语中就是概念的外延，并且他明确表示算术的对象是逻辑对象。¹⁶

这一理论的形而上学背景，显然是关于由特殊实体或“对象”组成的多元世界的概念，这些对象可根据共同属性或概念分类成集合。属性与对象之间的归属关系仍未定义，但我们可以假定它是一种偶然关系。对象之间的关系完全是外在的，仅取决于它们如何被汇集到类或集合中，集合之间的关系同样如此。恰当的形而上学理论是逻辑原子论，正如伯特兰·罗素在本世纪初以及维特根斯坦在其《逻辑哲学论》中所主张的那样。这种理论认为世界是由事实组成或作为事实的集合，每个事实都独立于所有其他事实，因此任何一个事实可以成立也可以不成立，而不影响任何其他事实。因此，事实是原子的，它们之间的相互关系是外在的。¹⁷ 一个事实要么由一个对象(或一组对象)具有一个属性(或多个属性)构成，要么由对象之间的关系构成。但是事实之间没有这样的联系，以至于可以从一个事实推断出另一个事实。既然如此，我们之前的假定得到了证实，即对象与属性之间的关系是偶然的，因为如果不是这样，从一个事实到另一个事实的推理将是可能的，并且一个事实的改变将导致其他事实的改变。一个原子事实可以用一个原子命题陈述，并且，正如一个原子事实可以与其他事实结合成一个复合事实一样，原子命题可以联结成一个复合命题。这些是从弗雷格的算术哲学、《概念文字》及其后继者——从《数学原理》开始——发展起来的逻辑的形而上学预设。

有人试图否认或回避这一结论，声称形而上学学说是一种不必要附加于逻辑的东西，并且其作者只是被数学语言误导而构建了形而上学理论。确实，他们可能被误导了——被数学语言误导而相信形而上学理论是真的。但这丝毫不能改变逻辑预设并以该形而上学为基础这一事实。因为数学语言是关于外部相关的单位集合、关于数字的，正如弗雷格如此恰当地定义它们一样，这是一个话语领域，其形而上学特征在逻辑原子论中被正确地阐述出来。然而，很可能值得怀疑的是，世界、具体实在的基本结构，是否与这个本质上抽象的计算和演算领域相同。无疑，可以将世界上所有可区分的对象视为好像是外部相关的特殊单位，这些单位可以根据任意的分类原则进行分组，并且，对于某些目的而言，这种假设可能非常有用。当做出这种假设时，对象可以被计数，并且数学程序可以应用于它们。但是，如果预设的形而上学不符合事物在具体事实中真实的样子，那么适用于数学计算的逻辑很可能被证明是不充分的。

III

本章的论点

在考虑形而上学适当性之前，必须检视能证实当代形式逻辑在其同化于数学过程中确实基于上述简要指出的形而上学证据。

我将在下文中试图建立的论点是：逻辑原子论是必不可少的前提，并且隐含在形式符号逻辑的程序中。我深知当今许多逻辑学家拒绝这种形而上学，但我将论证他们的逻辑实践仍然需要它作为预设。即使他们拒绝弗雷格和罗素关于数学的“逻辑主义”，情况也可能如此。我也绝不希望暗示，因为情况如此，数学家要么赞同这种形而上学，要么在自己的思维中预设了它。

然而，形式逻辑的程序仅被同化于计算，而数学推理绝不仅限于计算。因此，如果某些数学推理分支本身例示了形式逻辑范围之外的原则，也就不足为奇了。尽管如此，只要话语的对象是、可以还原为、或者可以表示为“集合、类或多重体”，我们便可以期待当前阐述的形式逻辑是合适的。我更加不相信自然科学预设了这种形而上学。实际上，在下一章我将论证它没有预设，并且因此，当代对所谓科学方法的哲学分析常常误入歧途。

IV

交换律、结合律和分配律

数学家已将数字的概念扩展到包括负数、无理数和虚数，他们解释这些更高类型数字的符号，使得在计算中基本代数定律不被违反。这些定律是交换律、结合律和分配律。显然，只有当所使用的符号代表由弗雷格定义的那类实体时，这些定律才成立;也就是说，由外部相关的单个殊相组成的集合。基本上，所有算术计算都是加法和减法，即互不关联和外部相关的单位的聚合与分离。乘法、除法、乘方和开根都只是加法和减法基本运算的复杂化。因此，只要这些运算所作用的外部是外部相关的特殊单位，这些运算就将遵循交换律、结合律和分配律。在此条件下，数字相加的顺序无关紧要：

x y=y x

并且由于乘法只是相等集合或数字的加法：

xy=yx。

因为x和y仅仅是独立单位的集合汇集在一起，它们的相互并置是完全无所谓的。当然，这样的汇集可以是空的，或者只包含一个单位，但这并不影响它遵循交换原理。结合律和分配律也依赖于完全相同的条件。结合律的情况很明显：

(x y) z=x (y z) 并且 (xy)z=x(yz)。

而分配律成立，是因为两个单位集合的总和乘以给定的次数，等于每个集合分别乘以该次数的总和：

x(y z)=xy xz.

然而，如果构成一个集合的单位是内部相关的，以至于它们以某种方式相互影响，或者通过相互关系相互构成，简言之，如果我们处理的是整体而非纯粹的集合，那么元素聚合的顺序就不再是无所谓的，代数定律将不再成立。

逻辑学家们特别小心地确保他们所使用符号的操作符合三个基本代数定律，我们现在看到，其条件是这些符号应代表外部相关的或由外部相关元素组成的实体。我们发现，这正是弗雷格看待概念及其所涵盖的对象的方式;这些就是逻辑所关涉的，多元原子论的形而上学预设再次显而易见。

此外，不仅遵循交换律、结合律和分配律的形式程序预设了一个原子和微粒的主题事项，而且实际上，若没有这种预设，形式化(在符号化的意义上)是不可能的。符号要有用，并且要能进行代数操作，必须代表同一且不变的项或实体。纯粹殊相的集合就是这样构想的。每个殊相都是同一的、恒定的，并且彼此分离。但在一个元素内部相关的系统中，部分或整体的任何变化都可能影响系统中的任何和每个元素，代表这些元素的符号将是不稳定的，对它们的算法操作将会崩溃。我们所揭示的形式逻辑的预设并非偶然的，也不是偶然做出的。它们对形式逻辑是必不可少的，没有它们，形式化是不可行的。

V

蕴涵

推理的基本规则通常被称为分离规则，其模式是：

如果P则Q;且P为真，故Q为真。

“如果P则Q”所表达的关系是蕴涵关系，而对这种关系的解释是当代形式逻辑的基础，即所谓的实质蕴涵，即“斐洛条件句”¹⁸ 的学说。实质蕴涵的公式是p⊃q，它在当代逻辑中是基础性的，这从它(以某种形式)出现在迄今为止为普通逻辑提供的每一套公理集的开头这一事实可以清楚看出。¹⁹

《数学原理》的作者对其意义有明确的说明。在他们列出的命题函项中，有“四个特殊情况具有根本重要性，因为后面(即该著作的其余部分)出现的所有从属命题聚合为一个复合命题，都是由它们一步步构成的。”²⁰ 这些是逻辑积(或合取)、逻辑和(或析取)、否定函项和蕴涵函项。最后一个包含了所有四个，因为p⊃q等价于~p∨q以及~(p.~q)。因此，仅考虑蕴涵函项即可达到我的目的。由函项

p⊃q

所代表的关系的奇特之处早已为人注意，人们普遍认为，它与形式逻辑之外通常使用的蕴涵概念不同，通常我们理解为，如果一个命题(q)被另一个命题(p)所蕴涵，则前者可以从后者导出——可以从它推断或演绎出来。当逻辑学家写作p⊃q时，情况并非总是如此，这一点是普遍承认的，但逻辑条件句通常被认为包括了这类可能的推断情况。然而，事实并非如此，也不可能如此，因为上文注意到的原子殊相的预设不允许如此，我现在将进行解释。

条件函项⊃被定义为，每当两个命题都为真，或都为假，或p假而q真时，p⊃q为真。H. W. B. 约瑟夫、布兰德·布兰夏德等人²¹ 已经指出，这不是两个命题之间的关系，而更像是关系的析取。为了满足这种蕴涵的条件，命题的真假之间不需要有本质联系。“所有的狗都是猫”的假与“太阳是热的”的真之间没有本质联系，然而根据规定规则，第一个蕴涵第二个，因为它是假的。现在，如果所有命题都是原子的，并且陈述互不关联的事实，我们永远无法仅凭对其他命题的知识以及在经验之前就判断一个命题的真假。在“蕴涵”的通常意义上，任何基本命题都不应蕴涵任何其他命题。但是，如果我们能发现一个命题p为真，另一个命题q也为真，或者p为假而q在某些情况下为真，在其他情况下为假，我们就可以断言p实质蕴涵q。因此，如果基本命题确实陈述了原子且相互独立的事实，那么实质蕴涵学说在逻辑上是重要且有用的。但是，如果命题之间的蕴涵要求其真假所依赖的事实之间存在相互依存关系，那么实质蕴涵学说(作为一种“逻辑”关系，无论命题之间的逻辑相互依存关系如何都成立)将没有任何逻辑效力。

该结论无法通过允许实质蕴涵包含涉及命题间逻辑依赖关系的案例来回避。有人可能会说，如果q的真值在逻辑上依赖于p，那么该学说的所有要求都将得到满足：当p为真时，q为真;当p为假时，q为假;但若p恰好为假，q却可能仍为真。然而，这种与学说要求的一致性纯粹是偶然的，实质蕴涵永远不能成为逻辑关联的判据。如果它能，那么命题在逻辑上相互独立的情况(如上文所举例)就不应被允许。不仅如此，条件联结词即使在其恰好存在的情况下也从不表示逻辑依赖关系，尽管符号逻辑学家常常忽视这一点，因为他们倾向于将符号的使用规则与命题间的逻辑关系相混淆。

p.p⊃q:⊃q

并不授权我们在已知p为真时断定q为真，因为仅凭这一知识，我们无法断定p ⊃ q。我们只有同时知道q为真时才能断定p ⊃ q;当然，如果我们已经知道q为真，那么表面上的结论就不是从p推论出来的。因此，第二个蕴涵符号和第一个一样，并不表示逻辑依赖关系，因为当p为真时，导致q成立的并非p与q之间的实质蕴涵关系。同样，即使第一个蕴涵是严格的，第二个也不必是严格的，因为只要p或p ⊃ q中有一个为假，实质蕴涵关系仍然成立。因此，符号⊃永远不能表示逻辑依赖关系。

这句话有时被认为可被以下例子反驳：

p ⊃ q . ⊃ .~q ⊃~p

这里，人们认为两个复合表达式之间存在着严格的逻辑蕴涵关系，正如第二个复合表达式的组成部分之间那样。但这是一种误解。如果第一个联结词不是严格蕴涵，那么另外两个也不是;如果它是，尽管它们也将是严格蕴涵，但正如已经表明的，这并不是蕴涵符号所表示的意义。只有当前件和后件之间首先存在严格的逻辑联系时，我才能从一个条件句的后件为假推断其前件为假。在

“太阳是热的”

与

“牛顿是男人”

之间没有严格的逻辑联系;因此，并不能严格地推出：如果牛顿是女人，太阳必然是冷的。符号表达式的有效性必须完全依赖于其所有组成部分之间的逻辑依赖关系，要么就完全都不依赖。如果是前者的情况，那么符号⊃就已经被偷偷赋予了与定义实质蕴涵时所使用的命题间关系不同的意义，而该学说将不适用(因为它无法保证q在逻辑上依赖于p)。如果是后者的情况，那么任何组成部分之间都不存在严格的逻辑依赖关系。

但有人会主张，p ⊃ q 被定义为 ~p ∨ q，因此，~q 除了 ~p 之外没有其他选择;这样，该蕴涵就是严格的。然而，这并不是命题之间的严格蕴涵，而仅仅是决定符号使用的一条规则。

“牛顿是男人”

的真值并不依赖于

“太阳是热的”

的真值，而必须独立于后者才能知道，然后我们才能在它们之间写上⊃。而当独立知道时，它并不授权我们从其反面推断出“太阳是热的”这一命题为假，尽管根据该规则，我们有权用实质蕴涵符号将其矛盾命题与后件的否定连接起来。在我们有权进行推论，并且后件的真值依赖于前件的地方，联结词并不代表命题之间的逻辑关系。因此，实质蕴涵学说只有在它所适用的命题都是原子命题且在逻辑上相互独立时才有意义，这一点仍然是正确的。

在确实存在真实关联的情况下，这一学说完全不适用。如果牛顿是男人，那么他的母亲必然是女人，如果他的母亲不是女人，他就不可能是个男人;但是，尽管“牛顿是男人”实质蕴涵“牛顿的母亲是女人”(因为两者碰巧都为真)，但“牛顿的母亲不是女人”也蕴涵“牛顿是男人”(因为第一个命题碰巧为假，第二个碰巧为真)。因此，

p⊃q.⊃ ~q ⊃~p

并不严格成立，因为如果q为假，它仍然在实质上蕴涵p，而如果q为真，它同样可以被~p实质蕴涵。我们同样可以写成

p⊃q.⊃.q⊃~p (当p和q中有一个为假或两者都为假时)，

或者

p⊃q.⊃.~q⊃p (当p和q中有一个为真或两者都为真时);

并且如果p为真而q为假，

p⊃q.⊃.~q⊃~p

仍然是正确的，即使p并不实质蕴涵q。

显然，实质蕴涵学说总是预设了基本命题之间的相互逻辑独立性，这种预设只有当这些命题陈述了实际上独立的事实时才是合理的。换句话说，作为《数学原理》整个体系基础的蕴涵函项预设了逻辑原子主义。由于在该书中阐述的逻辑演算里，几乎每个定理和证明都包含这个函项，可以说，没有它(也就没有原子主义的预设)，该演算就无法运行。使用不同的符号表示法并无区别;例如，p|q 或 p|(q|q) 以与 p ⊃ q 完全相同的方式涉及命题真假的逻辑独立性，因为不相容符号被定义为仅表示两个命题中至少有一个为假或两者都为假。

对实质蕴涵成立的情况，对形式蕴涵同样成立，形式蕴涵是实质蕴涵的泛化版本，为函数

(x) . φx ⊃ ψx

在《数学原理》(Ch. III, 40–41)中，罗素将此公式等同于传统逻辑的全称命题。“所有人都是会死的”据说等价于“对于x的所有值，x是人蕴涵x是会死的”。然而，变量x不能被限制为人，因为那样将通过消除“x是人”而消除蕴涵。我们只能通过检查每个特定的代入实例来确定前件(x是人)的真假，如果x不受限制，这将是一项无止境的任务。我们不能为此目的利用任何一般的识别规则，例如“没有树是人”，因为任何这样的规则本身就是一个形式蕴涵(在这种情况下，“对于x的所有值，x是树蕴涵x不是人”)，而确立其真值将涉及类似的、对个别实例进行无限研究的过程。其预设始终是，所涉及的原子命题断言了与那些对象没有本质联系的属性，因为任何特定对象都可以代入x，而所得命题的真值必须通过某种外部标准来检验(因为“x是树”或“x是人”不可能是分析的)。问题不仅在于验证过程涉及无限过程，而且在于条件句的真值条件意味着其组成部分的真值在逻辑上是相互独立的。原子命题本身并非本质上相互关联。形式蕴涵并非内在于其本质中的属性之间的联系，它仅仅是连接的真值析取(正如我们看到的)。只有当世界由彼此外在联系、并与它们的性质和属性偶然结合起来的纯粹殊相构成，并且由这种殊相结合构成的世界事实之间没有任何相互联系时，才需要无限的检查过程来确立两个主词类之间的蕴涵关系，使得像φx这样的命题函项只有检查了所有可能情况后才能说形式蕴涵另一个ψx。逻辑演算的原则再次预设了世界的原子性，我们必须得出结论：这种形而上学对它不可或缺，因为如果放弃它，整个逻辑体系赖以建立的蕴涵学说将不得不修改。

有时人们为实质蕴涵的悖论(可以说是非逻辑的)特性辩护，理由是斐洛式的条件句解释是满足分离规则能得出有效推论这一要求的最弱解释。但从上文可知，它显然不能满足这一要求;因为除非p和q之间存在某种本质联系，否则我们不能有效地论证“如果p则q，并且p;因此q”。我们甚至不应该断言“如果p则q”，除非这两个命题所表达的内容之间存在联系。斐洛式解释允许“如果P则Q”这一图式，无论是否存在任何联系，因此我们可能会论证：

如果猪不会飞，那么苏格拉底是会死的;

但猪不会飞，

因此，苏格拉底是会死的。

虽然根据当前学说，这个论证是有效的，但只要结论中包含“因此”一词，结论就是错误的，因为它实际上暗示苏格拉底会死的原因在于猪不会飞。因此，我们从一个真实的前提得出了一个隐含虚假的结论，而这正是分离规则本应防止的。

当然，我们可以稍微改变一下图式，变成“如果P，并且如果P则Q，那么Q”：

p. p⊃q: ⊃: q.

但这实际上是空洞的重言式

p⊃q.⊃p⊃q.

如果斐洛式解释始终成立，它就会受到上文讨论的所有结构的制约，而如果它只适用于第一个条件句，那么最后一个表达式就变成假的了。实质蕴涵

如果猪不会飞，那么苏格拉底是会死的，

并不蕴涵苏格拉底因为猪不会飞而会死。

蒯因在《逻辑的方法》中保留“蕴涵”一词用于那些在他术语中是“有效的”条件句;即，无论其字面符号作何解释都为真。例如，如果没有任何对p和q的解释能使条件句的后件为假而前件为真，那么该条件句是有效的，相当于一个蕴涵。如果在某些解释下为真，在另一些解释下为假，那么它在蒯因的术语中是“一致的”，但不是“有效的”;如果没有任何解释能使它为真，它就是“不一致的”。因此，

~q⊃~(p. q)

无论我们如何解释p和q都为真。

“如果卡西乌斯不饿，那么卡西乌斯并非又瘦又饿。”

i. 如果前件和后件都为真，整个条件句为真。

ii. 假设“卡西乌斯不饿”为假，那么它将实质蕴涵任何命题，因此条件句仍然为真。

iii. 假设“卡西乌斯是瘦的”为假，那么条件句的后件将为真，并且被每个命题所蕴涵。因此，该条件句不能被其字面符号的任何解释所证伪，它是一个有效的蕴涵。那么，对其组成部分的字面符号所有解释都为真的逻辑图式就是一个重言式，因此蕴涵就是重言式的条件句。从所举的例子中这一点很明显，因为

~(p.q) = ~p∨~q

而说卡西乌斯不饿就是说他不饿，不管他是否也瘦。

但请注意，条件句有效性的逻辑证明保留并依赖于斐洛式解释，根据该解释，组成部分的真值巧合(两者都为真，两者都为假，或前件为假后件为真)是充分的。因此，蒯因的蕴涵版本丝毫没有消除基本命题是原子的且没有逻辑依赖性的预设。根据这种观点，有效推理必须限于重言式，其适当的符号化应该是 p ⊃ p。但即便如此，斐洛式解释带来的异常现象并未消除，因为如果p为假，它将蕴涵所有其他命题，包括它自己的矛盾命题，并且每个有效蕴涵都将是“神奇推论”的实例，其中结论从自己的否定中得出，而且无论用什么命题代入p，情况都是如此。然而，这样的结论完全无法接受，应引导我们从根本上怀疑斐洛式学说。

我的结论不仅仅是形式化的逻辑是并且必须是真值函项的，并且真值函项逻辑意味着逻辑原子主义。而是，形式化预设了将概念视为抽象的、其外延仅仅是“对象”的集合或总集的观念，这种观念为弗雷格、罗素、《逻辑哲学论》时期的维特根斯坦以及大多数当代逻辑学家所共有。真值函项的各种逻辑只是证实了这一论点，但任何形式化的系统，无论是否真值函项，都预设了这种概念理论，逻辑原子主义由此自然得出。拒绝逻辑原子主义就是认为命题可以表达非同义词项之间的内在关系，并承认逻辑中存在非重言的必然性。我认为，这种承认必然会摧毁任何形式化系统，原因如上文第33页所述，即交换律、结合律和分配律将不再成立。此外，在关系是内在的地方，不可能有纯粹的殊相，因此变量代入规则无法维持，因为它们的意义在不同的语境(即不同的公式)中会发生变化。

用严格蕴涵取代实质蕴涵的当代模态逻辑并未改变我归因于数理逻辑的预设。在将普通逻辑扩展到包括模态形式时，C.I.刘易斯引入了严格蕴涵(用→表示)以取代实质蕴涵，从而消除已被指出的不便之处。但他并未成功，因为严格蕴涵是通过在实质蕴涵的定义中用“不可能”替换否定来定义的。以前我们写作

p⊃q≡~(p·~q)，

现在我们写作

p→q=~◇(p·~q)，

这并没有区别，因为它对实质蕴涵同样成立。在那里，也不可能出现斐洛式条件句在后件为假而前件为真时成立的情况。

模态逻辑中陈述的可能性与必然性之间的关系，由于其纯粹的形式主义必须保持，忽略了可能性和必然性的根据，正如普通形式逻辑从原子命题真假根据中抽象出来一样。它只关注模态陈述表达式的形式变换;除了重言式和自相矛盾，是什么使一个命题可能、实际或必然为真，并非形式逻辑所关注。事实上，如果我是正确的，它的预设是：除了分析命题外，没有命题是必然的或不可能的。如果p严格蕴涵q，那么q为假而p为真是不可能的，其原因无非是该蕴涵是重言的。

因此，正如之前一样，不可能命题蕴涵所有命题，必然命题被所有命题蕴涵，而这在“蕴涵”的通常意义上并非如此。欧几里得等边三角形各角相等，并不被苏格拉底会死所蕴涵，也不被犹大·伊斯卡略特无罪所蕴涵;三角形内角和超过180度，并不蕴涵鲸鱼是哺乳动物，也不蕴涵它是鱼类。如果逻辑原子主义为真，那么严格蕴涵不能在原子命题之间成立，除非严格蕴涵与实质(或形式)蕴涵是同一回事。即使存在差异，也只能是纯粹逻辑上的;换句话说，要成为严格的或必然的蕴涵，它必须是重言式，而实质条件句只需是一致的。然而，如果严格蕴涵仅仅是重言式的条件句，那么正如我们所见，该学说的后果对普通思维来说就变得完全不连贯了。

只要概念如上所述被视为抽象的，这无关紧要，逻辑可以不受阻碍地进行，并且只要命题之间没有假定内在联系，只要它们被认为是原子的，它仍将服务于我们的目的。如果世界由相互独立的事实构成，而事实是由与性质和属性偶然联系的、无关联的殊相聚合而成，那么事实将是原子的，表达它们的命题也是如此。我努力证明的是，这是数理逻辑的形而上学预设，而在排除了内在关系的地方，数理逻辑确实提供了一种用于推导此类原子事实和命题关系的演算。我的论点得到了伯特兰·罗素明确陈述的充分支持。在《数学原理》第二版的导言中，我们看到原子命题被当作一个既定事实来接受，并且可以出现在任何原子命题中的词项是“殊相”的。这一点在罗素发表于《当代英国哲学》(1924)中的论文“逻辑原子主义”中得到了重申，他在文中坚持认为，尽管事实并非简单，但所有复合物必须由简单物构成，简单物是分析的极限。他说，旧实体概念的逻辑用途，如果还能应用的话，只能应用于简单物，而这些简单物正是符号逻辑中简单符号所代表的东西。事实上，从罗素在这篇论文中论述符号逻辑和世界的方式可以清楚地看出，他认为逻辑程序的正当性在于它们适合于实在的结构。此外，毫无疑问，《数学原理》第十五页对原子命题的描述意在揭示作者们认为此类命题所陈述的事实结构。

维特根斯坦在《逻辑哲学论》中相当明确地阐述了形而上学理论，并坦率地断言逻辑符号显示了事实的形式。他说，事实是对象的组合，并且他使用的这个词与弗雷格的方式完全相同。那么，显然，逻辑建立于形而上学之上，我们不必认为维特根斯坦被罗素的任何错误或混淆所误导，或被数学语言的任何实体化所误导。数学本身就是逻辑的一部分——用维特根斯坦的话说是“一种逻辑方法”。

《数学原理》的作者们声称他们的符号系统“是为了精确表达数学命题而设计的”，并且他们相信整个数学可以从某些基本逻辑公设推导出来，其原因在于他们信奉逻辑原子主义的形而上学，而不是相反。广泛抽象学说——逻辑-形而上学原子主义的一个重要推论，以及与之相关的类和数的定义理论，提供了数学与旨在表达原子事实间关系的逻辑符号系统之间的联系。在一个由在原子事实中相互关联的殊相构成的世界里，不应该有诸如类这样的实体。因此，理想的逻辑符号系统必须是其中类可以用代表殊相的符号来表示的系统。这是通过符号 x(φx) 实现的，意思是“所有使命题函项 φx 为真的 x 的值”。然后，数被定义为与给定类相似的一类类，由此得出，所有关于数的命题都可以用旨在表达关于殊相的事实结构的符号系统来表示。似乎也可以得出，所有数学真理都可以从那些决定原子命题可能关系的基本逻辑函项的公设中推导出来。我在此的目的不是批评这一立场或攻击由此产生的形式逻辑程序，而仅仅是证明形而上学基础，尤其是将概念视为抽象的观念对它们的不可或缺性。

有人会反对说，形式逻辑已经远远超越了《数学原理》和维特根斯坦的《逻辑哲学论》，后来的许多发展与我试图得出的结论相悖。同时，人们通常承认，所有后来的发展都建立在一阶逻辑之上，而上述论点适用于一阶逻辑。可能会声称布劳威尔和海廷的直觉主义逻辑并不受制于与其他形式逻辑相同的预设。但(就相关差异而言)情况似乎并非如此。直觉主义逻辑试图将排中律的有效性限制在有限主体和可证明的命题上，而在涉及某些类型的无穷时则摒弃它。这确实在数学推理方法中引入了新的有趣特征，并且消除排中律是直觉主义者与其他多值逻辑的共同之处，但没有证据表明这对预设的、将概念视为抽象的、其外延由可数殊相集合构成的观念有任何影响。它也没有摒弃条件句或以实质蕴涵以外的其他方式解释条件句。威廉·涅尔断言，海廷的演绎规则与《数学原理》的相同，除了逻辑符号(包括条件句)被视为未定义的初始概念。但是，如果哥德尔在其证明中是正确的，即海廷的演算包含了整个经典逻辑，那么这不会影响我上文所论证的观点。他声称直觉主义者甚至没有放弃排中律，除非是在他们避免在自己的数学推理中使用它的意义上。普莱尔断言，海廷的演算将蕴涵式定理限制在那些只能证明布劳威尔数学所允许的证明的范围内。否则，蕴涵并不改变其特性，并且对它的真值条件与普通命题演算中的类似。每个假命题仍然蕴涵所有命题，每个真命题仍然被所有命题蕴涵，并且一个不确定的(或不可证明的)命题蕴涵任何不确定的命题。如果如塔尔斯基和麦金西所建议，海廷的算符不应被视为真值函项的而应被视为模态的，那么我的论点，正如我上面所论证的，将仍然不受影响。

如果我们不预设世界由原子事实构成，并且如果我们要考虑内在关系，那么就需要一种非常不同的逻辑理论来使证明科学理论化合理性的事实之间的联系变得可理解。如果我们的逻辑不是完全外延的，那么类、共相、关系和概念将必须以完全不同的方式来定义和理解;并且如果数学真理可以从这种不同逻辑的原则中推导出来，那也不会是弗雷格、罗素及其追随者所设想的那种线性演绎方式。

以上论述不应被理解为对符号逻辑的攻击。这远非其本意。符号逻辑是一门高度发展的技术性数学科学，它拥有合法且重要的领域和应用。但是，如果我本章的论证成立，那么这种逻辑的应用必然局限于被视为由相互外在的殊相及此类殊相的集合构成的主题领域。我的目的仅仅是从其自身的学说和实践中证明，形式化的逻辑建立在某些形而上学预设之上(有时其作者公开承认)，并揭示这些预设是什么。我将在后续章节中表明，一种不受上述限制束缚的不同方法，仍然承认并保留了形式逻辑的位置，其在自身合法领域内的有效性和效力既不应被否认也不应被贬低。

注：

1.参见 L. 维特根斯坦，《逻辑哲学论》，6.45;J. O. 厄姆森，《哲学分析》(牛津，1956);以及 G. J. 瓦诺克，《1900年以来的英国哲学》(牛津大学出版社，1958)，第41–42页。

2.参见《算术基础》，§ 95。

3.参见威廉·涅尔和玛莎·涅尔，《逻辑学的发展》(牛津，1962)，第453页。

4.参见《逻辑学的发展》，第1页。

5.参见 P. 吉奇和 M. 布莱克编译，《戈特洛布·弗雷格著作选译》(布莱克韦尔出版社，牛津，1952)，第21–41页。

6.参见涅尔，前引书，第十章第1节。

7.前引书，吉奇和布莱克编译，第32页。

8.《算术基础》，§§21–15。

9.同上，§§28。

10.同上，§ 54。

11.同上，§ 54。

12.前引书，第466页。

13.前引书，第458页。

14.参见“论概念与对象”，(吉奇和布莱克编译)，第44页。

15.弗雷格断言，概念需要精确定义的要求是：“对于任何对象，必须能够确定它是否属于这个概念之下。”(“函数与概念”，吉奇和布莱克编译，第33页)。

16.《逻辑学的发展》，第452页。

17.参见 D. R. 侯世达，《哥德尔、埃舍尔、巴赫》(文蒂奇出版社，纽约，1980)，第53页及以后，其中将世界比作一个形式系统，并说“形式”世界是由遵循机械定律的基本粒子构成的。

18.源自麦加拉的斐洛，他首先提出一个健全的条件句是那种不是由真开始并以假结束的句子。

19.参见 W. 和 M. 涅尔，前引书，第九章第2节。

20.参见《数学原理》，第二版;A. N. 普赖尔，《形式逻辑》(牛津，1962)，第8页：“从逻辑的观点来看，……最重要的真值函项是……由一对变元通过算符‘如果……那么……’构造出来的那个。”

21.参见 H. W. B. 约瑟夫，1932年在牛津发表的演讲(尚未出版)“内部与外部关系与分析哲学”，以及“为逻辑学中的自由思考辩护”，《心灵》，第XLI, XLII 和 XLIII 卷;布兰夏德在《思想的本质》(伦敦，1939)第二十九章。

22.参见《数学原理》，第二版，第一卷，第 xvi 页。

23.最初由 F. H. 布拉德雷提出，但受到伯纳德·鲍桑葵的质疑。参见 F. H. 布拉德雷，《逻辑原理》(牛津，1922)，第一卷，第43页及以后;以及 B. 鲍桑葵，《知识与实在》(伦敦，1885, 1892;1968年重印)。

24.参见涅尔，前引书，第130页。一些逻辑学家不再认为所谓的蕴涵悖论是一个问题，但这并不影响上述关于形而上学预设的论证。

25.参见前引书，第7页。

26.

27.为量子物理学发展适当形式系统(称为量子逻辑)的努力，似乎是对更常规的形式逻辑的调整，以考虑物理测试理论中的特殊性。这些特殊性会影响命题“p·q ⊃ p”的真值——当对q的判定改变了实验条件，从而影响p的取值时，该命题的真值就会发生变化。因此，逻辑学家在定义蕴涵函子时遇到了困难。这是个难题，因为正如 J. J. 泽曼所言：“要成为一种逻辑……一个形式系统必须拥有一种蕴涵关系。”(“具有蕴涵的量子逻辑”，《圣母大学形式逻辑杂志》，29，1979)。他们努力的一般结果似乎是将蕴涵符号转换为一个模态算符，如果上面所说的是正确的，那么这将与我的主要论点无关。

28.参见《数学原理》，第二版，第一卷，第 xv 页。

29.同上，第 xix 页。

30.事实恰恰相反。希尔伯特很久以前就观察到符号逻辑可以当作初等数论的一个分支来处理(《第三届国际数学家大会论文集》，1904)，而详细的对应关系已由哥德尔完成(《论<数学原理>及相关系统中的形式上不可判定命题》，《数学与物理月刊》，XXXVIII，1931)。

31.“论直觉主义算术和数论”，《数学讨论会论文集》，第四辑(1932)，第34–38页。

32.参见 A. N. 普赖尔，《形式逻辑》(牛津，1962)，第250页及252页。

33.分离规则对于直觉主义蕴涵函项与普通命题演算最终是相同的，这一点已由卢卡西维茨证明;参见“论直觉主义演绎理论”，《荷兰皇家科学院学报》，A辑，55(1952)，第202–12页。

34.一些人认为直觉主义逻辑基于康德式预设，这是一种严重的误解。康德确实主张数学的有效性依赖于他所谓的“纯粹直观形式”。但康德的论点是，这些形式(空间和时间)内在于心灵，因此心灵可以从中先天地推导出综合结果。在当代直觉主义逻辑中，并没有反映这种形而上学的学说。

第一章完

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