一元二次方程的定义

一元二次方程是指一个形如 ax^2 bx c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且 a 不等于 0。一元二次方程的解法多种多样，其中十字相乘法是一种比较简单易懂的方法。

十字相乘法的步骤

十字相乘法解决一元二次方程的步骤如下：

将一元二次方程化为标准形式，即 ax^2 bx c = 0。

将方程两边同时乘以 a，得到 a^2x^2 abx ac = 0。

将方程两边同时乘以 c，得到 a^2cx^2 abcx ac^2 = 0。

将方程两边同时乘以 b，得到 ab^2x^2 b^2cx b^2c = 0。

将方程三、四相加，得到 (a^2c ab^2 ac^2)x^2 (abc b^2c)x (b^2c ac^2) = 0。

提取公因式，得到 (a^2c ab^2 ac^2)(x^2 x 1) = 0。

根据零因子定理，得到 a^2c ab^2 ac^2 = 0 或 x^2 x 1 = 0。

解出 a^2c ab^2 ac^2 = 0 的实数解，得到方程的两个实数根。如果方程 a^2c ab^2 ac^2 = 0 无实数解，则方程无实数根。

解出 x^2 x 1 = 0 的实数解，得到方程的两个虚数根。如果方程 x^2 x 1 = 0 无实数解，则方程无虚数根。

十字相乘法的应用

十字相乘法可以用于解决各种一元二次方程。例如：

解方程：x^2 2x - 3 = 0。

将方程两边同时乘以 2，得到 2x^2 4x - 6 = 0。

将方程三、四相加，得到 2x^2 4x 2 = 0。

提取公因式，得到 2(x^2 2x 1) = 0。

根据零因子定理，得到 x^2 2x 1 = 0。

解出 x^2 2x 1 = 0 的实数解，得到方程的两个实数根 x = -1 i 或 x = -1 - i。

解方程：2x^2 - 3x 1 = 0。

将方程两边同时乘以 2，得到 4x^2 - 6x 2 = 0。

将方程三、四相加，得到 4x^2 - 6x 4 = 0。

提取公因式，得到 4(x^2 - 3x 1) = 0。

根据零因子定理，得到 x^2 - 3x 1 = 0。

解出 x^2 - 3x 1 = 0 的实数解，得到方程的两个实数根 x = (3 i√3)/2 或 x = (3 - i√3)/2。

十字相乘法的优点和缺点

十字相乘法的优点在于简单易懂，计算步骤少，适用于各种一元二次方程。

十字相乘法的缺点在于计算过程繁琐，容易出错，对于复杂的一元二次方程，计算量较大。